計算のエチュード・高校数学編
次の問に答えよ。
４次方程式
\[ (x^{2}+3x)^{2}-2x^{2}-6x-3=0 \]
を解け。
\( x^{2}+3x = X \)とおくと
\( (x^{2}+3x)^{2}-2x^{2}-6x-3 = X^{2} - 2X - 3 \)
\(X^{2} - 2X - 3 = 0\) を解くと、
\(X^{2} - 2X - 3 = (X-2)(X-1) = 0\)
したがって、\(X = 2 \) または \(1 \)
\(X \) をもとに戻して、
\(\left\lbrace
\begin{array}{cr}
x^{2}+3x-2=0 & -①\\
x^{2}+3x-1=0 & -②
\end{array}
\right. \)
①を解くと、
\[
x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}
\]
②を解くと、
\[
x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2} = \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}
\]
関数 \( \displaystyle{f(x)=\frac{4}{x}-\frac{1}{x^{2}}} \)の最大値を求めよ。
\( \displaystyle{f(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 4x^{-1}-x^{-2}} \)であるから、
\( \displaystyle{f'(x) = -4x^{-2} + 2x^{-3}} = -\frac{2(2x-1)}{x^{3}}\)
増減表を作ると、
\begin{array}{cccccc}
x & & 0 & & \frac{1}{2} & \\
\hline
f'(x) & - & \cdots & + & 0 & -\\
\hline
f(x) & \searrow & \cdots & \nearrow & 4 & \searrow
\end{array}
さらに、
\( \lim f(x)_{x\to -\infty} =\lim f(x)_{x_\to -\infty} \frac{4}{x}-\frac{1}{x^{2}}=0\)
であるから、
\( f(x) \)の最大値は、\( x=\frac{1}{2}\)のとき、\(f(x)=4\)
関数 \( f(x)=x-4\sqrt{x+2}+1 \)の最小値を求めよ。
\( \displaystyle{f(x) = x - 4\sqrt{x+2} + 1 = x -4(x+2)^{\frac{1}{2}}} \)であるから、
\( \displaystyle{f'(x) = 1 - 4\cdot \frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = \frac{\sqrt{x+2}-2}{x+2} } \)
増減表を作ると、
\begin{array}{cccccc}
x & & -2 & & 2 & \\
\hline
f'(x) & \cdots & \cdots & - & 0 & -\\
\hline
f(x) & \cdots & \cdots & \searrow & -5 & \nearrow
\end{array}
したがって、\( f(x) \)の最小値は、\( x=2 \)のとき、\( f(x)=-5\)
次の関数の最小値を求めよ。
\(f(x)=x^{4}-4x^{2}+2\)
\(f(x)=x^{4}-4x^{2}+2 = (x^{2}-2)^{2}-2 \)であるから、
最小値は\( x=2 \)のとき、\( f(x)= -2\)
\(f(x)=-\cos^{2} x -4\sin x+3 (0 \leq x \leq \pi)\)
\( \cos^{2}x = 1 - \sin^{x} \)であるから、
\begin{eqnarray}
f(x) & = & -\cos^{2} x -4\sin x+3 \\
& = & -(1-\sin^{2}x) -4\sin x + 3 \\
& = & ( \sin^{2}x -2)^{2} -1 \\
\end{eqnarray}
したがって、\( \displaystyle{x = \frac{\pi}{2}} \) のとき、\( f(x) = 0 \)
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次の問に答えよ。
実数\(x,y\)が
\[\left\lbrace
\begin{array}{c}
-1\leq x+y \leq 3\\
-2\leq x-y \leq 4
\end{array}
\right. \]
を満たす時、\(2x+y\)の取り得る値の範囲を求めよ。
実数 \(x,y \)が\(x^{2}+y^{2}\leq 4\) を満たす時、\(z=(x+1)(y+1)\)の取り得る値の範囲を求めよ。
方程式\(xy+3x-2y=11\)を満たす整数\(x,y\)の組を求めよ。
\(\triangle ABC \)の内部に点\(P\)があり、次の式を満たす。
\[ 2\overrightarrow{AP}+5\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0} \]
このとき、\(\triangle PBC,\triangle PCA, \triangle PAB\)の面積比を求めよ。
次の和を求めよ。
\[ \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\]
次の問に答えよ。
３次方程式\(x^{3}-13x^{2}+4x-3=0\)の３解を\(\alpha,\beta,\gamma\)とするとき、
\[ (13-\alpha)(13-\beta)(13-\gamma)\]
の値を求めよ。
\(xy\)平面上に曲線\(C:y=2x^{2}-(\sqrt[3]{5}+1)x+\sqrt[3]{25}\)がある。
\(Cのx=1\)における接線を\(l\),直線\(x=4\)を\(m\)とするとき、\(Cとlとm\)で囲まれた部分の面積を求めよ。
次の問に答えよ。
数列の和\(\displaystyle{\sum^{113}_{k=13}(79+17x)}\)を求めよ。
次の和を求めよ。
\[ \frac{8}{5}+\sum^{n}_{k=1}\left(\frac{3}{5}\right)^{k+1}\]
次の定積分の値を求めよ。
\[ \int^{501}_{-499}(x^{3}-3x^{2}+3x)dx\]
次の和を求めよ。
\[\sum^{n}_{k=1}\frac{3^{k}+4^{n}}{5^{k}}\]
\[\sum^{n}_{k=1}\frac{3\cdot 4^{k}+5^{k+1}}{2^{3k}}\]