計算のエチュード・高校数学編(解答編)

次の問に答えよ。
4次方程式 (x2+3x)22x26x3=0 を解け。
x2+3x=Xとおくと (x2+3x)22x26x3=X22X3
X22X3=0 を解くと、
X22X3=(X2)(X1)=0
したがって、X=2 または 1
X をもとに戻して、 {x2+3x2=0x2+3x1=0
①を解くと、 x=3±3241(2)2=3±172
②を解くと、 x=3±3241(1)2=3±132
関数 f(x)=4x1x2の最大値を求めよ。
f(x)=4x1x2=4x1x2であるから、
f(x)=4x2+2x3=2(2x1)x3
増減表を作ると、 x012f(x)+0f(x)4 さらに、 limf(x)x=limf(x)x4x1x2=0 であるから、
f(x)の最大値は、x=12のとき、f(x)=4
関数 f(x)=x4x+2+1の最小値を求めよ。
f(x)=x4x+2+1=x4(x+2)12であるから、
f(x)=1412(x+2)12=12x+2=x+22x+2
増減表を作ると、 x22f(x)0f(x)5
したがって、f(x)の最小値は、x=2のとき、f(x)=5
次の関数の最小値を求めよ。
f(x)=x44x2+2
f(x)=x44x2+2=(x22)22であるから、
最小値はx=2のとき、f(x)=2
f(x)=cos2x4sinx+3(0xπ)
cos2x=1sin2xであるから、
f(x)=cos2x4sinx+3=(1sin2x)4sinx+3=sin2x4sinx+2=sin2x4sinx+42=(sinx2)22
0xπにおいて、0sinx1であるから、2sinx21
したがって最小値は、x=π2 のとき、f(x)=1
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次の問に答えよ。
実数x,y {1x+y32xy4 を満たす時、2x+yの取り得る値の範囲を求めよ。
実数 x,yx2+y24 を満たす時、z=(x+1)(y+1)の取り得る値の範囲を求めよ。
方程式xy+3x2y=11を満たす整数x,yの組を求めよ。
ABCの内部に点Pがあり、次の式を満たす。 2AP+5BP+4CP=0 このとき、PBC,PCA,PABの面積比を求めよ。
次の和を求めよ。
k=1n1(2k1)(2k+1)
次の問に答えよ。
3次方程式x313x2+4x3=0の3解をα,β,γとするとき、 (13α)(13β)(13γ) の値を求めよ。
xy平面上に曲線C:y=2x2(53+1)x+253がある。 Cx=1における接線をl,直線x=4mとするとき、Clmで囲まれた部分の面積を求めよ。
次の問に答えよ。
数列の和k=13113(79+17x)を求めよ。
次の和を求めよ。 85+k=1n(35)k+1
次の定積分の値を求めよ。 499501(x33x2+3x)dx
次の和を求めよ。
k=1n3k+4n5k
k=1n34k+5k+123k