計算のエチュード・高校数学編
次の問に答えよ。
４次方程式
\[ (x^{2}+3x)^{2}-2x^{2}-6x-3=0 \]
を解け。
関数 \( \displaystyle{f(x)=\frac{4}{x}-\frac{1}{x^{2}}} \)の最大値を求めよ。
関数 \( f(x)=x-4\sqrt{x+2}+1 \)の最小値を求めよ。
次の関数の最小値を求めよ。
\(f(x)=x^{4}-4x^{2}+2\)
\(f(x)=-\cos^{2} x -4\sin x+3 (0 \leq x \leq \pi)\)
次の問に答えよ。
実数\(x,y\)が
\[\left\lbrace
\begin{array}{c}
-1\leq x+y \leq 3\\
-2\leq x-y \leq 4
\end{array}
\right. \]
を満たす時、\(2x+y\)の取り得る値の範囲を求めよ。
実数 \(x,y \)が\(x^{2}+y^{2}\leq 4\) を満たす時、\(z=(x+1)(y+1)\)の取り得る値の範囲を求めよ。
方程式\(xy+3x-2y=11\)を満たす整数\(x,y\)の組を求めよ。
\(\triangle ABC \)の内部に点\(P\)があり、次の式を満たす。
\[ 2\overrightarrow{AP}+5\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0} \]
このとき、\(\triangle PBC,\triangle PCA, \triangle PAB\)の面積比を求めよ。
次の和を求めよ。
\[ \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\]
次の問に答えよ。
３次方程式\(x^{3}-13x^{2}+4x-3=0\)の３解を\(\alpha,\beta,\gamma\)とするとき、
\[ (13-\alpha)(13-\beta)(13-\gamma)\]
の値を求めよ。
\(xy\)平面上に曲線\(C:y=2x^{2}-(\sqrt[3]{5}+1)x+\sqrt[3]{25}\)がある。
\(Cのx=1\)における接線を\(l\),直線\(x=4\)を\(m\)とするとき、\(Cとlとm\)で囲まれた部分の面積を求めよ。
次の問に答えよ。
数列の和\(\displaystyle{\sum^{113}_{k=13}(79+17x)}\)を求めよ。
次の和を求めよ。
\[ \frac{8}{5}+\sum^{n}_{k=1}\left(\frac{3}{5}\right)^{k+1}\]
次の定積分の値を求めよ。
\[ \int^{501}_{-499}(x^{3}-3x^{2}+3x)dx\]
次の和を求めよ。
\[\sum^{n}_{k=1}\frac{3^{k}+4^{n}}{5^{k}}\]
\[\sum^{n}_{k=1}\frac{3\cdot 4^{k}+5^{k+1}}{2^{3k}}\]